Norman had een lange en gevarieerde carrière, zowel binnen de film- als theaterwereld. Naast de legendarische James Bond-muziek componeerde Norman de muziek van films als The Two Faces of Dr. Jekyll en The Day the Earth Caught Fire.
Dr. No
Normans Bond-tune was al te horen in 007's eerste filmavontuur, Dr. No (1962). Die film is overigens de enige in de franchise zonder een sequentie voorafgaand aan de titelsong. In plaats daarvan begint de film met de spion die richting het scherm schiet, iets dat we nog veel vaker zagen terugkeren in latere delen.
De muziek die te horen is tijdens dit pistoolschot, werd een van de bekendste en tijdloze deuntjes die ooit in een film te horen zijn geweest. Ook in de modernere Bond-films met Daniel Craig komt Normans muziek nog steeds veelvuldig langs.
Norman heeft overigens jarenlang moeten strijden voor het feit dat de James Bond-tune van zijn hand komt. Vaak werd John Barry, die meerdere bewerkingen van de muziek verzorgde, genoemd als de bedenker. Na drie rechtszaken, die hij allemaal won, wist iedereen het zeker: Norman was het genie achter de James Bond-muziek